Когерентные волны разность хода

Пусть в данную точку пространства приходят две световые волны одинаковой частоты, которые возбуждают в этой точке колебания одинакового направления (обе волны поляризованы одинаковым образом):

Когерентностью называется согласованное протекание нескольких колебательных или волновых процессов. Степень согласования может быть различной. Соответственно вводится понятие степени когерентности двух волн.

Е = A₂cos(wt + a₂), тогда амплитуда результирующего колебания

Если частоты колебаний в обеих волнах w одинаковы, а разность фаз j возбуждаемых колебаний остается постоянной во времени, то такие волны называются когерентными.

При наложении когерентных волн они дают устойчивое колебание с неизменной амплитудой А = соnst, определяемой выражением (1) и в зависимости от разности фаз колебаний лежащей в пределах |а₁ –А₂ê £ A £ а₁ +А_2.

Т.о., когерентные волны при интерференции друг с другом дают устойчивое колебание с амплитудой не больше суммы амплитуд интерферирующих волн.

Если j = p, тогда соsj = -1 и а₁ = А₂, a амплитуда суммарного колебания равна нулю, и интерферирующие волны полностью гасят друг друга.

В случае некогерентных волн j непрерывно изменяется, принимая с равной вероятностью любые значения, вследствие чего среднее по времени значение _t = 0. Поэтому

откуда интенсивность, наблюдаемая при наложении некогерентных волн, равна сумме интенсивностей, создаваемых каждой из волн в отдельности:

В случае когерентных волн, соsj имеет постоянное во времени значение (но свое для каждой точки пространства), так что

В тех точках пространства, для которых соsj >0, I> I₁ +I₂; в точках, для которых соsj -8 с и протяженностью около 3 м. Фаза нового цуга никак не связана с фазой предыдущего цуга. В испускаемой телом световой волне излучение одной группы атомов через время порядка 10 -8 с сменяется излучением другой группы, причем фаза результирующей волны претерпевает случайные изменения.

Некогерентными и не могущими интерферировать др. с др. являются волны, испускаемые различными естественными источниками света. А можно ли вообще для света создать условия, при которых наблюдались бы интерференционные явления? Как, пользуясь обычными некогерентными излучателями света, создать взаимно когерентные источники?

Когерентные световые волны можно получить, разделив (с помощью отражений или преломлений) волну, излучаемую одним источником света, на две части, Если заставить эти две волны пройти разные оптические пути, а потом наложить их др. на др., наблюдается интерференция. Разность оптических длин путей, проходимых интерферирующими волнами, не должна быть очень большой, так как складывающиеся колебания должны принадлежать одному и тому же результирующему цугу волн. Если эта разность ³1м, наложатся колебания, соответствующие разным цугам, и разность фаз между ними будет непрерывно изменяться хаотическим образом.

Пусть разделение на две когерентные волны происходит в точке О (рис.2).

До точки Р первая волна проходит в среде показателем преломления n₁ путь S₁, вторая волна проходит в среде с показателем преломления n₂ путь S₂. Если в точке О фаза колебания равна wt, то первая волна возбудит в точке Р колебание А₁соsw(t – S₁/V₁), а вторая волна -колебание А₂соsw(t – S₂/V₂), где V₁ и V₂ – фазовые скорости. Следовательно, разность фаз колебаний, возбуждаемых волнами в точке Р, будет равна

Заменим w/с через 2pn/с = 2p/lо (lо – длина волны в), тогдаj = (2p/lо)D, где (3)

есть величина, равная разности оптических длин, проходимых волнами путей, и называется оптической разностью хода.

Из (3) видно, что если оптическая разность хода равна целому числу длин волн в вакууме:

D = ±mlо (m = 0,1,2), (4)

то разность фаз оказывается кратной 2p и колебания, возбуждаемые в точке Р обеими волнами , будут происходить с одинаковой фазой. Т.о., (4) есть условие интерференционного максимума.

Если оптическая разность хода D равна полуцелому числу длин волн в вакууме:

D = ± (m + 1/2)lо (m =0, 1,2, . ) (5)

то j = ± (2m + 1)p, так что колебания в точке Р находятся в противофазе. Следовательно, (5) есть условие интерференционного минимума.

Принцип получения когерентных световых волн разделением волны на две части, проходящие различные пути, может быть практически осуществлен различными способами – с помощью экранов и щелей, зеркал и преломляющих тел.

Впервые интерференционную картину от двух источников света наблюдал в 1802 году английский ученый Юнг. В опыте Юнга (рис.3) свет от точечного источника (малое отверстие S) проходит через две равноудаленные щели (отверстия) А₁ и А₂, являющиеся как бы двумя когерентными источниками (две цилиндрические волны). Интерференционная картина наблюдается на экране Ё, расположенном на некотором расстоянии l параллельно А₁А₂. Начало отсчета выбрано в точке 0, симметричной относительно щелей.

Усиление и ослабление света в произвольной точке Р экрана зависит от оптической разности хода лучей D =L₂ – L₁. Для получения различимой интерференционной картины расстояние между источниками А₁А₂=d должно быть значительно меньше расстояния до экрана l. Расстояние х, в пределах которого образуются интерференционные полосы, значительно меньше l. При этих условиях можно положить S₂ – S₁ » 2l. Тогда S₂ – S₁ » xd/l. Умножив на n,

Подучим D = nxd/l. (6)

Подставив (6) в (4) получим, что максимумы интенсивности будут наблюдаться при значениях х, равных х_max = ± mll/d (m = 0, 1,2. ).(7)

Здесь l = l/n – длина волны в среде, заполняющей пространство между источниками и экраном.

Координаты минимумов интенсивности будут:

Расстояние между двумя соседними максимумами интенсивности называется расстоянием между интерференционными полосами, а расстояние между соседними минимумами – шириной интерференционной полосы. Из (7) и (8) следует, что расстояние между полосами и ширина полосы имеют одинаковое значение, равное Dх = ll/d. (9)

Измеряя параметры, входящие в (9), можно определить длину волны оптического излучения l. Согласно (9) Dх пропорционально 1/d, поэтому чтобы интерференционная картина была четко различима, необходимо соблюдение упоминавшегося выше условия: d D = nS₂ – S₁ ± l/2

где S₁ – длина отрезка АВ, а S₂ – суммарная длина отрезков АО и ОС, а член ± l/2 обусловлен потерей полуволны при отражении света от границы раздела двух сред с различными показателями преломления.

Из геометрического рассмотрения получается формула для оптической разности хода дучей1и2:

D = 2bÖ(n 2 – sin 2 Q₁) = 2bn соsQ₂,

а с учетом потери полуволны для оптической разности хода получим

Вследствие ограничений, накладываемых временной и пространственной когерентностью, интерференция при освещении пластинки например солнечным светом наблюдается только в том случае, если толщина пластинки не превышает нескольких сотых миллиметра. При освещении светом с большей степенью когерентности (например, лазером) интерференция, наблюдается и при отражении от более толстых пластинок или пленок.

Практически интерференцию от плоскопараллельной пластинки наблюдают, поставив на пути отраженных пучков линзу, которая собирает лучи в одной из точек экрана, расположенного в фокальной плоскости линзы (рис.5). Освещенность в произвольной точке Р экрана зависит от значения величины D, определенной по формуле (10). При D = mlо получаются максимумы, при D = (m + 1/2)lо – минимумы интенсивности (m – целое число).

Пусть тонкая плоскопараллельная пластинка освещается рассеянным монохроматическим светом (рис.5). Расположим параллельно пластинке линзу, в фокальной плоскости которой поместим экран. В рассеянном свете имеются лучи самых разнообразных направлений. Лучи, параллельные плоскости рисунка и падающие на пластинку под углом в), после отражения от обеих поверхностей пластинки соберутся линзой в точке Р и создадут в этой точке освещенность, определяемую значением оптической разности хода.

Лучи, идущие в других плоскостях, но падающие на пластинку под тем же углом Q₁¢ соберутся линзой в других точках, отстоящих от центра экрана О на такое же расстояние, как и точка Р. Освещенность во всех этих точках будет одинакова. Т.о. лучи, падающие на пластинку под одинаковым углом Q₁¢, создадут на экране совокупность одинаково освещенных точек, расположенных по окружности с центром в точке О. Аналогично, лучи, падающие под другим углом Q"₁ создадут на экране совокупность одинаково (но иначе, поскольку А иная) освещенных точек, расположенных по окружности другого радиуса.

В результате на экране возникнет система чередующихся светлых и темных круговых полос с общим центром в точке O). Каждая полоса образована лучами, падающими на пластинку под одинаковым углом Q₁. Поэтому получающиеся в описанных условиях интерференционные полосы носят назв. полос равного наклона. При ином расположении линзы относительно пластинки (экран во всех случаях должен совпадать с фокальной плоскостью линзы) форма полос равного наклона будет другой. Роль линзы может играть хрусталик глаза, а экрана – сетчатка глаза.

Согласно (10) положение максимумов зависит от lо. Поэтому в белом свете получается совокупность смещенных др. относительно др. полос, образованных лучами разных цветов, и интерференционная картина приобретает радужную окраску.

Интерференционная картина от тонкого прозрачного клина переменной толщины была изучена еще Ньютоном. Пусть на такой клин (рис.6) падает параллельный пучок лучей.

Рис.6.

Теперь лучи, отразившиеся от разных поверхностей клина, не будут параллельными. Но и в этом случае отраженные волны будут когерентными во всем пространстве над клином, и при любом расстоянии экрана от клина на нем наблюдаться интерференционная картина в виде полос, параллельных вершине клина 0. Каждая из таких полос возникает в результате отражения от участков клина с одинаковой толщиной, вследствие чего их называют полосами равной толщины. Практически полосы равной толщины наблюдают, поместив вблизи клина линзу и за ней экран. Роль линзы может играть хрусталик, а роль экрана – сетчатка глаза. При наблюдении в белом свете полосы будут окрашенными, так что поверхность пластинки или пленки представляется имеющей радужную окраску. Такую окраску имеют, например, расплывшиеся по поверхности воды тонкие пленки нефти и масла, а также мыльные пленки. Заметим, что интерференция от тонких пленок может наблюдаться не только в отраженном, но и в проходящем свете.

Классическим примером полос равной толщины являются кольца Ньютона, Они наблюдаются при отражении света от соприкасающихся др. с др. плоскопараллельной толстой стеклянной пластинки и плоско-выпуклой линзы с большим радиусом кривизны (рис.7).

Роль тонкой пленки, от поверхности которой отражаются когерентные волны, играет воздушный зазор между пластинкой и линзой (вследствие большой толщины пластинки и линзы за счет отражений от других поверхностей интерференционные полосы не возникают). При нормальном падении света полосы равной толщины имеют вид концентрических окружностей, при наклонном падении – эллипсов. Найдем радиусы колец Ньютона, получающиеся при нормальном падении света на пластину. В этом случае sinQ₁ = О и D равна удвоенной толщине зазора (предполагается n = 1). Из рис. 7 следует, что

R 2 = (R – b) 2 + r 2 » R 2 – 2Rb + r 2 , (12)

где R – радиус кривизны линзы, r – радиус окружности, всем точкам которой соответствует одинаковый зазор b. Считаем b 2 2 /2R. Чтобы учесть возникающее при отражении от пластинки изменение фазы на p, нужно к D = 2b = r 2 /R прибавить lо/2. В результате получится

D = r 2 /R + lо/2. (13)

В точках, для которых D = m’lо = 2m'(lо/2), возникают максимумы, в точках, для которых D = (m’ + 1/2)lо = (2m’+ 1)(lо/2), – минимумы интенсивности.

Оба условия можно объединить в одно: D = mlо/2, причем четным значениям m будут соответствовать максимумы, а нечетным -минимумы интенсивности. Подставив сюда (13) и разрешив получившееся уравнение относительно r, найдем радиусы светлых и темных колец Ньютона:

Четным m соответствуют радиусы светлых колец, нечетным m – радиусы темных колей. Значению m =1 соответствует г = 0, в этой точке наблюдается минимум интенсивности, обусловленный изменением фазы на p при отражении световой волны от пластинки.

Измеряя расстояния между полосами интерференционной картины для тонких пластин или радиусы колец Ньютона, можно определить длины волн световых лучей и, наоборот, по известной l найти радиус кривизны линзы.

Интерференцию можно наблюдать и в проходящем свете, причем в данном случае не наблюдается потери полуволны. Следовательно, оптическая разность хода для проходящего и отраженного света отличается на l/2, т.е. максимумам интерференции в отраженном свете соответствуют минимумы в проходящем, и наоборот.

Другим практическим применением интерференции являются прецизионные измерения линейных размеров. Для этого служат приборы, называемые интерферометрами.

Интерферометры также позволяют определять незначительные изменения показателя преломления прозрачных тел (газов, жидкостей и твердых тел) в зависимости от давления, температуры, примесей и т.п.

Когерентные волны. Картина интерференции

Картина интерференции (чередование в пространстве темных и светлых полос, колец и т.п.) возникает при наложении двух когерентных волн.

Две волны называются когерентными , если:

1) они имеют одинаковые частоты (длины волн) и являются монохроматичными:

ν 1 = ν 2 = const,

где ν 1 — частота первой волны; ν 2 — частота второй волны;

2) в определенной точке пространства в произвольный момент времени разность фаз колебаний имеет фиксированное значение :

Δφ = |φ 2 − φ 1 | = const,

где φ 1 — фаза первой волны; φ 2 — фаза второй волны;

3) колебания векторов напряженности электрических (и магнитных) полей в каждой из волн имеют одинаковые направления.

Когерентными источниками света называются источники, испускающие когерентные световые волны.

Интерференция световых волн — явление пространственного перераспределения энергии светового потока, возникающего при наложении двух когерентных волн, в результате чего в одних местах пространства появляются максимумы, а в других — минимумы интенсивности.

Картина интерференции — чередование интерференционных максимумов и минимумов на экране (или в других местах наблюдения), имеющее вид темных и светлых полос (колец и т.п.).

Для описания процесса распространения световой волны в среде и явления интерференции двух когерентных волн вводят следующие характеристики:

1) оптическая длина пути световой волны:

где n — показатель преломления среды, в которой распространяется волна; S — геометрическая длина пути световой волны;

2) оптическая разность хода двух когерентных волн (разность оптических длин, проходимых волнами путей):

где L 1 — оптическая длина пути первой волны; L 2 — оптическая длина пути второй волны.

При наложении двух когерентных волн происходит пространственное перераспределение световой энергии ( явление интерференции ): в одних местах пространства наблюдается усиление (максимумы) интенсивности светового потока, в других — ослабление (минимумы) интенсивности светового потока ( картина интерференции ).

Максимумы интерференции двух когерентных волн формируются, если оптическая разность хода двух волн равна четному числу длин полуволн в вакууме:

где m = 0, 1, 2, 3, . ; λ 0 — длина световой волны в вакууме (воздухе); Δ — оптическая разность хода двух когерентных волн.

При m = 0 наблюдается центральный максимум; ему соответствует оптическая разность хода, равная нулю. При m = 1 наблюдается максимум первого порядка, при m = 2 — максимум второго порядка и т.п.

Минимумы интерференции двух когерентных волн формируются, если оптическая разность хода двух волн равна нечетному числу длин полуволн в вакууме:

Δ = ± ( 2 m + 1 ) λ 0 2 .

При m = 0 наблюдается минимум первого порядка, при m = 1 — минимум второго порядка и т.п.

Разность фаз колебаний двух световых волн, интерферирующих в определенной точке пространства, может быть рассчитана по формуле

где λ 0 — длина световой волны в вакууме (воздухе); Δ — оптическая разность хода двух когерентных волн.

Если в определенной точке пространства находится:

максимум интерференции , то колебания, возбуждаемые в этой точке световыми волнами, будут происходить в одинаковой фазе, т.е. разность фаз колебаний составит 2π — для первого максимума интерференции, 4π — для второго, 6π — для третьего и т.п.;
минимум интерференции , то колебания, возбуждаемые в этой точке пространства световыми волнами, будут происходить в противоположной фазе, т.е. разность фаз колебаний составит π для первого минимума интерференции, 3π — для второго, 5π — для третьего и т.п.

Пример 21. Оптическая разность хода двух когерентных световых волн для некоторой точки пространства составляет 1,00 мкм. В данной точке образуется интерференционный минимум третьего порядка. Найти длину световых волн в вакууме и разность фаз колебаний в этой точке.

Решение . Минимумы интерференции двух когерентных волн формируются в случае, если оптическая разность хода двух волн в некоторой точке пространства равна нечетному числу длин полуволн в вакууме

Δ = ± ( 2 m + 1 ) λ 0 2 ,

где Δ — оптическая разность хода двух когерентных волн; m = 2 (соответствует минимуму третьего порядка); λ 0 — длина световой волны в вакууме (воздухе).

Условие минимума интерференции третьего порядка, записанное в явном виде

позволяет получить формулу для расчета длины волны света в вакууме:

Расчет дает значение:

λ 0 = 2 ⋅ 1,00 ⋅ 10 − 6 5 = 0,4 ⋅ 10 − 6 м = 400 нм .

Оптическую разность хода двух когерентных световых волн для интерференционного минимума третьего порядка

подставим в формулу для разности фаз колебаний и получим

Δ φ = 2 π λ 0 ⋅ 5 λ 0 2 = 5 π рад.

Для минимума интерференции третьего порядка разность фаз колебаний составляет 5π рад.

Ширина полосы интерференции. Применение интерференции

Шириной полосы интерференции называется расстояние между двумя соседними максимумами (или между двумя соседними минимумами) на экране, на котором наблюдается картина интерференции.

Максимумы и минимумы интенсивности могут представлять собой полосы или кольца:

светлые полосы (или кольца) соответствуют максимумам;
темные полосы (или кольца) — минимумам интерференции.

Шириной полосы интерференции Δ x (рис. 11.39) считается суммарная ширина одной светлой и одной темной полосы (или кольца); переходу от светлой полосы (максимума интерференции) к соседней темной полосе (минимуму) соответствует оптическая разность хода λ/2 (рис. 11.40).

Схема опыта Юнга по интерференции световых волн показана на рис. 11.41:

вторичными когерентными источниками света S 1 и S 2 служат две узкие щели в диафрагме Д, поставленной на пути распространения света от точечного источника; расстояние между щелями равно d ;
на экране Э, расположенном на расстоянии l от диафрагмы, наблюдается чередование светлых и темных полос (картина интерференции); светлые полосы соответствуют максимумам интерференции, темные — минимумам.

Ширина полосы интерференции определяется формулой

где l — расстояние от диафрагмы до экрана; d — расстояние между щелями (источниками света S 1 и S 2 ); λ — длина волны света в среде.

Важным обстоятельством для получения четкой картины интерференции является соблюдение условия d l .

При решении задач об интерференции света на клине (рис. 11.42) следует помнить, что картина интерференции наблюдается на поверхности клина, а ширине полосы интерференции соответствует изменение толщины клина на величину

h = λ 2 = λ 0 2 n ,

где λ — длина волны света в среде; λ 0 — длина волны света в вакууме; n — показатель преломления материала клина (для воздушного клина n = 1).

Явление интерференции используется для просветления оптики , т.е. для уменьшения потерь света из-за отражений в оптических приборах. Для этого поверхности линз покрывают слоем прозрачного вещества, показатель преломления которого меньше показателя преломления материала линзы; толщина пленки определяется условием

2 n d = ( 2 m + 1 ) λ 0 2 ,

где n — показатель преломления пленки; d — толщина пленки; m = 0, 1, 2, 3, . ; λ 0 — та длина волны света в вакууме, для работы с которой предназначены линзы.

Минимальная толщина пленки определяется условием m = 0 и рассчитывается с помощью формулы

Пример 22. В опыте Юнга используется источник монохроматического света с длиной волны 600 нм. Щели диафрагмы, служащие вторичными источниками света, расположены на расстоянии 200 мкм друг от друга. Расстояние между диафрагмой и экраном, на котором наблюдают картину интерференции, увеличивают на 60,0 мм. Найти изменение ширины полосы интерференции.

Решение . На рисунке показана схема опыта Юнга и обозначены соответствующие расстояния: S 1 и S 2 — две узкие щели в диафрагме Д, поставленной на пути распространения света от точечного источника; расстояние между щелями равно d ; Э — экран, расположенный на расстоянии l от диафрагмы.

Ширина полосы интерференции, наблюдаемой на экране, описывается следующими формулами:

где l 1 — первоначальное расстояние от диафрагмы до экрана; d — расстояние между щелями, d = 200 мкм; λ — длина световой волны, λ = 600 нм;

где l 2 — новое расстояние от диафрагмы до экрана.

При увеличении расстояния l ширина полосы интерференции ∆ x также увеличивается:

Δ x = Δ x 2 − Δ x 1 = λ d ( l 2 − l 1 ) = λ d Δ l ,

где Δ l — увеличение расстояния от диафрагмы до экрана, Δ l = l 2 − l 1 .

Δ x = 600 ⋅ 10 − 9 ⋅ 60,0 ⋅ 10 − 3 200 ⋅ 10 − 6 = 180 ⋅ 10 − 6 м = 180 мкм .

Пример 23. Для просветления линз оптических приборов используют напыление пленки с показателем преломления 1,25. Приборы предназначены для работы со светом, имеющим в вакууме длину волны 700 нм. Найти минимальную толщину покрытия, обеспечивающего просветление линз.

Решение . Для уменьшения потерь света в оптических приборах (просветление оптики) поверхности линз покрывают слоем прозрачного вещества, показатель преломления которого должен быть меньше показателя преломления материала линзы.

Толщина пленки определяется условием минимумов интерференции:

2 n d = ( 2 m + 1 ) λ 0 2 ,

где n — показатель преломления материала пленки, n = 1,25; d — толщина пленки; m = 0, 1, 2, 3, . ; λ 0 — длина световой волны в вакууме (воздухе), λ 0 = 700 нм.

Минимальная толщина пленки определяется условием m = 0 (первый минимум интерференции):

2 n d min = λ 0 2

и рассчитывается с помощью формулы

d min = 700 ⋅ 10 − 9 4 ⋅ 1,25 = 140 ⋅ 10 − 9 м = 140 нм .

Нанесение покрытия толщиной 140 нм обеспечит просветление линз при работе со светом указанной длины волны.

Решебник по физике за 11 класс (Касьянов В.А., 2002 год),
задача №78
к главе «Волновая оптика. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ».

Когерентные волны — волны с одинаковой частотой, поляризацией и постоянной разностью фаз. Время когерентности — средняя длительность «цуга» гармонического излучения.

Длина когерентности — расстояние, на котором происходит устойчивое гармоническое колебание световой волны.

Интерференция — явление наложения когерентных волн, вследствие которого наблюдается устойчивое во времени усиление или ослабление результирующих колебаний в различных точках пространства.

Максимальная результирующая интенсивность при интерференции когерентных колебаний в определенной точке пространства получается при их запаздывании друг относительно друга на время, кратное периоду этих колебаний:

Минимальная результирующая интенсивность при интерференции когерентных колебаний в определенной точке пространства получается при их запаздывании друг относительно друга на время, кратное нечетному числу полупериодов этих колебаний:

где m = 0;±1;±2.

Геометрическая разность хода интерферирующих волн — разность расстояний от источников волн до точки их интерференции. Условие интерференционного максимума:

Условие интерференционного минимума:

Когерентные источники света получаются при разделении светового потока от источника естественного света.

Просветление оптики — уменьшение отражения света от поверхности линзы в результате нанесения на нее специальной пленки.

Дифракция — явление нарушения целостности фронта волны, вызванное резкими неоднородностями в среде. Дифракция проявляется в нарушении прямолинейности распространения световых лучей, огибании волнами препятствий, в проникновении света в область геометрической тени.

Принцип Гюйгенса—Френеля: возмущение в любой точке пространства является результатом интерференции когерентных вторичных волн, излучаемых каждой точкой фронта волны.

Зона Френеля — множество когерентных источников вторичных волн, максимальная разность хода между которыми (для определенного направления распространения) равна Х/2.

Условие дифракционного минимума на щели (а — ширина щели):

где m = 0; ±1; ±2; .. ; α_m— угол наблюдения.

Приближение геометрической оптики справедливо при условии

где а — размер препятствия на пути волны, l— расстояние до препятствия.

Условие главных максимумов при дифракции света на решетке с периодом d:

где m = 0;±1;±2; . Увеличение числа щелей приводит к увеличению интенсивности и уменьшению ширины главных максимумов. Возможность раздельного наблюдения главных максимумов m-го порядка близких длин волн λ₁ и λ₂ характеризуется разрешающей способностью A дифракционной решетки: