Содержание
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ.
СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ.
Электромагнитные колебания – взаимосвязанные колебания электрического и магнитного полей.
Электромагнитные колебания появляются в различных электрических цепях. При этом колеблются величина заряда, напряжение, сила тока, напряженность электрического поля, индукция магнитного поля и другие электродинамические величины.
Свободные электромагнитные колебания возникают в электромагнитной системе после выведения ее из состояния равновесия, например, сообщением конденсатору заряда или изменением тока в участке цепи.
Это затухающие колебания, так как сообщенная системе энергия расходуется на нагревание и другие процессы.
Вынужденные электромагнитные колебания – незатухающие колебания в цепи, вызванные внешней периодически изменяющейся синусоидальной ЭДС.
Электромагнитные колебания описываются теми же законами, что и механические, хотя физическая природа этих колебаний совершенно различна.
Электрические колебания – частный случай электромагнитных, когда рассматривают колебания только электрических величин. В этом случае говорят о переменных токе, напряжении, мощности и т.д.
Колебательный контур – электрическая цепь, состоящая из последовательно соединенных конденсатора емкостью C, катушки индуктивностью L и резистора сопротивлением R.
Состояние устойчивого равновесия колебательного контура характеризуется минимальной энергией электрического поля (конденсатор не заряжен) и магнитного поля (ток через катушку отсутствует).
Величины, выражающие свойства самой системы (параметры системы): L и m, 1/C и k
величины, характеризующие состояние системы:
величины, выражающие скорость изменения состояния системы: u = x'(t) и i = q'(t) .
ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Можно показать, что уравнение свободных колебаний для зарядаq = q(t) конденсатора в контуре имеет вид
где q" – вторая производная заряда по времени. Величина
является циклической частотой. Такими же уравнениями описываются колебания тока, напряжения и других электрических и магнитных величин.
Одним из решений уравнения (1) является гармоническая функция
Период колебаний в контуре дается формулой (Томсона):
Величина φ = ώt + φ, стоящая под знаком синуса или косинуса, является фазой колебания.
Фаза определяет состояние колеблющейся системы в любой момент времени t.
Ток в цепи равен производной заряда по времени, его можно выразить
Чтобы нагляднее выразить сдвиг фаз, перейдем от косинуса к синусу
ПЕРЕМЕННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
1. Гармоническая ЭДС возникает, например, в рамке, которая вращается с постоянной угловой скоростью в однородном магнитном поле с индукцией В. Магнитный поток Ф , пронизывающий рамку с площадью S ,
где- угол между нормалью к рамке и вектором магнитной индукции .
По закону электромагнитной индукции Фарадея ЭДС индукции равна
где – скорость изменения потока магнитной индукции.
Гармонически изменяющийся магнитный поток вызывает синусоидальную ЭДС индукции
где – амплитудное значение ЭДС индукции.
2. Если к контуру подключить источник внешней гармонической ЭДС
то в нем возникнут вынужденные колебания, происходящие с циклической частотой ώ, совпадающей с частотой источника.
При этом вынужденные колебания совершают заряд q, разность потенциалов u , сила тока i и другие физические величины. Это незатухающие колебания, так как к контуру подводится энергия от источника, которая компенсирует потери. Гармонически изменяющиеся в цепи ток, напряжение и другие величины называют переменными. Они, очевидно, изменяются по величине и направлению. Токи и напряжения, изменяющиеся только по величине, называют пульсирующими.
В промышленных цепях переменного тока России принята частота 50 Гц.
Для подсчета количества теплоты Q, выделяющейся при прохождении переменного тока по проводнику с активным сопротивлением R, нельзя использовать максимальное значение мощности, так как оно достигается только в отдельные моменты времени. Необходимо использовать среднюю за период мощность – отношение суммарной энергии W, поступающей в цепь за период, к величине периода:
Поэтому количество теплоты, выделится за время Т:
Действующее значение I силы переменного тока равно силе такого постоянного тока, который за время, равное периоду T, выделяет такое же количество теплоты, что и переменный ток:
Отсюда действующее значение тока
Аналогично действующее значение напряжения
Трансформатор – устройство, увеличивающее или уменьшающее напряжение в несколько раз практически без потерь энергии.
Трансформатор состоит из стального сердечника, собранного из отдельных пластин, на котором крепятся две катушки с проволочными обмотками. Первичная обмотка подключается к источнику переменного напряжения, а к вторичной присоединяют устройства, потребляющие электроэнергию.
называют коэффициентом трансформации. Для понижающего трансформатора К > 1, для повышающего
Пример. Заряд на пластинах конденсатора колебательного контура изменяется с течением времени в соответствии с уравнением . Найдите период и частоту колебаний в контуре,циклическую частоту, амплитуду колебаний заряда и амплитуду колебаний силы тока. Запишите уравнение , выражающее зависимость силы тока от времени.
Из уравнения следует, что . Период определим по формуле циклической частоты
Зависимость силы тока от времени имеет вид:
Амплитуда силы тока.
Ответ: заряд совершает колебания с периодом 0,02 с и частотой 50 Гц, которой соответствует циклическая частота 100 рад/с, амплитуда колебаний силы тока равна 510 3 А, ток изменяется по закону:
i=-5000 sin100t
Процессы, возникающие в электрических цепях под действием внешнего периодического источника тока, называются вынужденными колебаниями .
Вынужденные колебания, в отличие от собственных колебаний в электрических цепях, являются незатухающими . Внешний источник периодического воздействия обеспечивает приток энергии к системе и не дает колебаниям затухать, несмотря на наличие неизбежных потерь.
Особый интерес представляет случай, когда внешний источник, напряжение которого изменяется по гармоническому закону с частотой ω, включен в электрическую цепь, способную совершать собственные свободные колебания на некоторой частоте ω.
Если частота ω свободных колебаний определяется параметрами электрической цепи, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешнего источника .
Для установления вынужденных стационарных колебаний после включения в цепь внешнего источника необходимо некоторое время Δ. Это время по порядку величины равно времени τ затухания свободных колебаний в цепи.
Электрические цепи, в которых происходят установившиеся вынужденные колебания под действием периодического источника тока, называются цепями переменного тока .
Рассмотрим последовательный колебательный контур, то есть -цепь, в которую включен источник тока, напряжение которого изменяется по периодическому закону (рис. 2.3.1):
, |
где – амплитуда, ω – круговая частота.
Рисунок 2.3.1. |
Предполагается, что для электрической цепи, изображенной на рис. 2.3.1, выполнено условие квазистационарности. Поэтому для мгновенных значений токов и напряжений можно записать закон Ома:
Величина – это ЭДС самоиндукции катушки, перенесенная с изменением знака из правой части уравнения в левую. Эту величину принято называть напряжением на катушке индуктивности .
Уравнение вынужденных колебаний можно записать в виде
, |
где , и – мгновенные значения напряжений на резисторе, конденсаторе и катушке соответственно. Амплитуды этих напряжений будем обозначать буквами , и . При установившихся вынужденных колебаниях все напряжения изменяются с частотой ω внешнего источника переменного тока. Для наглядного решения уравнения вынужденных колебаний можно использовать метод векторных диаграмм .
На векторной диаграмме колебания определенной заданной частоты ω изображаются с помощью векторов (рис. 2.3.2).
Рисунок 2.3.2. |
Длины векторов на диаграмме равны амплитудам и колебаний, а наклон к горизонтальной оси определяется фазами колебаний φ1 и φ2. Взаимная ориентация векторов определяется относительным фазовым сдвигом . Вектор, изображающий суммарное колебание, строится на векторной диаграмме по правилу сложения векторов:
Для того, чтобы построить векторную диаграмму напряжений и токов при вынужденных колебаниях в электрической цепи, нужно знать соотношения между амплитудами токов и напряжений и фазовый сдвиг между ними для всех участков цепи.
Рассмотрим по отдельности случаи подключения внешнего источника переменного тока к резистру с сопротивлением , конденсатору с емкостью и катушки с индуктивностью . Во всех трех случаях напряжение на резисторе, конденсаторе и катушке равно напряжению источника переменного тока.
1. Резистор в цепи переменного тока
Здесь через обозначена амплитуда тока, протекающего через резистор. Связь между амплитудами тока и напряжения на резисторе выражается соотношением
. |
Фазовый сдвиг между током и напряжением на резисторе равен нулю.
Физическая величина называется активным сопротивлением резистора .
2. Конденсатор в цепи переменного тока
Соотношение между амплитудами тока и напряжения :
Ток опережает по фазе напряжение на угол
Физическая величина называется емкостным сопротивлением конденсатора .
3. Катушка в цепи переменного тока
Соотношение между амплитудами тока и напряжения :
. |
Ток отстает по фазе от напряжения на угол
Физическая величина называется индуктивным сопротивлением катушки .
Теперь можно построить векторную диаграмму для последовательного -контура, в котором происходят вынужденные колебания на частоте ω. Поскольку ток, протекающий через последовательно соединенные участки цепи, один и тот же, векторную диаграмму удобно строить относительно вектора, изображающего колебания тока в цепи. Амплитуду тока обозначим через . Фаза тока принимается равной нулю. Это вполне допустимо, так как физический интерес представляют не абсолютные значения фаз, а относительные фазовые сдвиги. Векторная диаграмма для последовательного -контура изображена на рис. 2.3.2.
Рисунок 2.3.3. |
Векторная диаграмма на рис. 2.3.2 построена для случая, когда или В этом случае напряжение внешнего источника опережает по фазе ток, текущий в цепи, на некоторый угол φ.
Из рисунка видно, что
откуда следует
Из выражения для видно, что амплитуда тока принимает максимальное значение при условии
или
Явление возрастания амплитуды колебаний тока при совпадении частоты ω колебаний внешнего источника с собственной частотой ω электрической цепи называется электрическим резонансом . При резонансе
Сдвиг фаз φ между приложенным напряжением и током в цепи при резонансе обращается в нуль. Резонанс в последовательной -цепи называется резонансом напряжений . Аналогичным образом с помощью векторной диаграммы можно исследовать явление резонанса при параллельном соединении элементов , и (так называемый резонанс токов ).
При последовательном резонансе () амплитуды и напряжений на конденсаторе и катушке резко возрастают:
В § 2.2 было введено понятие добротности -контура:
Таким образом, при резонансе амплитуды напряжений на конденсаторе и катушке в раз превышают амплитуду напряжения внешнего источника.
Рисунок 2.3.4. |
Рис. 2.3.4 иллюстрирует явление резонанса в последовательном электрическом контуре. На рисунке графически изображена зависимость отношения амплитуды напряжения на конденсаторе к амплитуде напряжения источника от его частоты ω для различных значений добротности . Кривые на рис. 2.3.3 называются резонансными кривыми .
Можно показать, что максимум резонансных кривых для контуров с низкой добротностью несколько сдвинуты в область низких частот.
Дадим определение понятию вынужденных колебаний.
Вынужденные колебания – это процессы, которые происходят в электрических цепях под воздействием периодического источника тока.
Основным отличием вынужденных колебаний по сравнению с собственными колебаниями в электрических цепях является то, что они являются незатухающими. Неизбежные потери энергии компенсируются за счет внешнего источника периодического воздействия, который не позволяет колебаниям затухать.
Переменный ток — электрический ток, который с течением времени изменяется по величине и направлению или, в частном случае, изменяется по величине, сохраняя своё направление в электрической цепи неизменным.
Рассмотрим случай, когда электрическая цепь способна совершать собственные свободные колебания с некоторой частотой ω 0 . Предположим, что к этой цепи подключен внешний источник, напряжение которого изменяется по гармоническому закону с частотой ω .
Частота свободных колебаний в электрической сети ω 0 будет определяться параметрами этой сети. Вынужденные колебания, которые установятся при подключении внешнего источника ω , будут происходить на частоте этого внешнего источника.
Частота вынужденных колебаний устанавливается не сразу после включения внешнего источника, а спустя некоторое время Δ t . По порядку величины это время будет равно времени затухания свободных колебаний в сети τ .
Цепи переменного тока – это такие электрические цепи, в которых под воздействием периодического источника тока происходят установившиеся вынужденные колебания.
Рассмотрим устройство колебательного контура, в который включен источник тока с напряжением, изменяющимся по периодическому закону:
e ( t ) = ε 0 cos ω t,
где ε 0 – амплитуда, ω – круговая частота.
Фактически, это будет R L C -цепь.
Рисунок 2 . 3 . 1 . Вынужденные колебания в контуре.
Будем считать, что для изображенной на этом рисунке электрической цепи выполняется условие квазистационарности. Это позволит нам записать закон Ома для мгновенных значений токов и напряжений:
R J + q C + L d J d t = ε 0 c o c ω t.
Величину L d J d t принято называть напряжением на катушке индуктивности. Фактически, это ЭДС самоиндукции катушки, которую мы для простоты вычислений перенесли с противоположным знаком в левую часть уравнения из правой.
Уравнение вынужденных колебаний можно записать в виде:
u R + u C + u L = e ( t ) = ε 0 cos ω t.
где u R ( t ) , u C ( t ) и u L ( t ) – мгновенные значения напряжений на резисторе, конденсаторе и катушке соответственно. Амплитуды этих напряжений будем обозначать буквами U R , U C и U L . Напряжения при установившихся вынужденных колебаниях изменяются с частотой внешнего источника переменного тока ω .
Для решения уравнения вынужденных колебаний мы можем использовать достаточно наглядный метод векторных диаграмм. Для этого используем векторную диаграмму, на которой с помощью векторов изобразим колебания определенной заданной частоты ω .
Давайте посмотрим, как построить векторную диаграмму токов и напряжений.
Рисунок 2 . 3 . 2 . Векторная диаграмма, на которой с помощью векторов изображены гармонические колебания A cos ( ω t + φ 1 ) , B cos ( ω t + φ 2 ) и их суммы C cos ( ω t + φ ) .
Наклон векторов к горизонтальной оси определяется фазой колебаний φ 1 и φ 2 , а длины векторов соответствуют амплитудам колебаний A и B . Относительный фазовый сдвиг определяет взаимную ориентацию векторов: ∆ φ = φ 1 – φ 2 . Для того, чтобы построить вектор, изображающий суммарное колебание, нам необходимо использовать правило сложения векторов: C → = A → + B → .
При вынужденных колебаниях в электрической цепи для построения векторной диаграммы напряжений и токов нам необходимо знать соотношения между амплитудами токов и напряжений и фазовый сдвиг между ними для любого участка цепи.
Источник переменного тока может быть подключен к:
Рассмотрим эти три примера подробнее. Будем считать, что напряжение на резисторе, катушке и конденсаторе во всех трех случаях равно напряжению внешнего источника переменного тока.
J R R = u R = U R cos ω t ; J R = U R R cos ω t = I R cos ω t
Мы обозначили амплитуду тока, который протекает через резистор, через I R . Соотношение R I R = U R выражает связь между амплитудами тока и напряжения на резисторе. Фазовый сдвиг в этом случае равен нулю. Физическая величина R – это активное сопротивление на резисторе.
u C = q C = U C cos ω t
J C = d q d t = C d u C d t = C U C ( – ω sin ω t ) = ω C U C cos ω t + π 2 = I C cos ω t + π 2 .
Соотношение между амплитудами тока I C и напряжения U C : 1 ω C I C = U C .
Ток опережает по фазе напряжение на угол π 2 .
Физическая величина X C = 1 ω C – это емкостное сопротивление конденсатора.
U L = L d J L d t = U L cos ω t ; J L = ∫ U L L cos ω t d t = U L ω L sin ω t = U L ω L cos ω t – π 2 = I L cos ω t – π 2
Соотношение между амплитудами тока I L и напряжения U L : ω L I L = U L .
Ток отстает по фазе от напряжения на угол π 2 .
Физическая величина X L = ω L – это индуктивное сопротивление катушки.
Построим векторную диаграмму для последовательного R L C -контура, частота вынужденных колебаний в котором ω.
При построении диаграммы будем учитывать, что через различные участки цепи протекает один и тот же ток. Удобнее делать это будет относительно вектора, который изображает колебания тока в цепи.
Для амплитуды тока введем обозначение I 0 . Фазу тока примем равной нулю, так как в данном случае нас интересуют не столько абсолютные значения фаз, сколько относительные фазовые сдвиги.
Рисунок 2 . 3 . 3 . Векторная диаграмма для последовательной R L C -цепи.
Данная диаграмма построена для случая, когда ω L > 1 ω C или ω 2 > ω 0 2 = 1 L C .
По фазе напряжение внешнего источника опережает ток, который течет в цепи, на некоторый угол φ .
Из рисунка видно, что
ε 0 2 = U R 2 + ( U L – U C ) 2 , откуда следует, что
I 0 = ε 0 R 2 + ω L – 1 ω C 2 ; t g φ = ω L – 1 ω C R .
Из выражения для I 0 видно, что амплитуда тока принимает максимальное значение при условии
ω L – 1 ω C = 0 или ω 2 = ω р е з 2 = ω 0 2 = 1 L C .
Электрический резонанс – это физическое явление возрастания амплитуды колебаний тока в случае совпадения частоты колебаний внешнего источника ω и собственной частоты электрической цепи ω 0 .
При резонансе I 0 р е з = ε 0 R .
При резонансе сдвиг фаз φ между приложенным напряжением и током в цепи равен нулю. Если речь идет о последовательной R L C -цепи, то такой резонанс называется резонансом напряжения.
С помощью векторной диаграммы явление резонанса можно исследовать аналогичным образом при другой последовательности элементов. Параллельное соединение элементов R , L и C позволяет получить резонанс токов.
При последовательном резонансе ( ω = ω 0 ) амплитуды U C и U L напряжений на конденсаторе и катушке резко возрастают: U L р е з = U C р е з = ω 0 L ( I 0 ) р е з = ε 0 R L C .
Ранее было введено понятие добротности R L C -контура: Q = 1 R L C .
Таким образом, при резонансе амплитуды напряжений на конденсаторе и катушке в Q раз превышают амплитуду напряжения внешнего источника.
Рисунок 2 . 3 . 4 . Резонансные кривые для контуров с различными значениями добротности Q .
Рисунок иллюстрирует процессы, происходящие в последовательном электрическом контуре, а также зависимость между такими величинами как амплитуды U C напряжения на конденсаторе к амплитуде ε 0 напряжения источника от его частоты ω для различных значений добротности Q . В контурах с низкой добротностью максимум резонансных кривых сдвинут в область низких частот.