Ювелирное обозрение

1.Определение колебательного движения

Колебательное движение – это движение, точно или приблизительно повторяющееся через одинаковые промежутки времени. Учение о колебательном движении в физике выделяют особо. Это обусловлено общностью закономерностей колебательного движения различной природы и методов его исследования. Механические, акустические, электромагнитные колебания и волны рассматриваются с единой точки зрения. Колебательное движение свойственно всем явлениям природы. Внутри любого живого организма непрерывно происходят ритмично повторяющиеся процессы, например биение сердца.

Механические колебания Колебания – это любой физический процесс, характери­зующийся повторяемостью во времени.

Волнение моря, качание маятника часов, вибрации корпуса корабля, биение человеческого сердца, звук, радиоволны, свет, переменные токи — все это коле­бания.

В процессе колебаний значения физических величин, опреде­ляющих состояние системы, через равные или неравные проме­жутки времени повторяются. Колебания называются периодическими, если значения изме­няющихся физических величин повторяются через равные проме­жутки времени.

Наименьший промежуток времени Т, черезкото­рый значение изменяющейся физической величины повторяется (по величине и направлению, если эта величина векторная, по величине и знаку, если она скалярная), называетсяпериодом колебаний.

Число полных колебаний n , совершаемых за единицу времени, называется частотой колебаний этой величины и обозначается через ν . Период и частота колебаний связаны соотноше­нием :

Любое колебание обусловлено тем или иным воздействием на колеблющуюся систему. В зависимости от характера воздействия, вызывающего колебания, различают следующие виды периодических колебаний: свободные, вынужденные, автоколебания, параметри­ческие.

Свободные колебания — это колебания, происходящие в систе­ме, предоставленной самой себе, после выведения ее из состояния устойчивого равновесия (например, колебания груза на пружине).

Вынужденные колебания — это колебания, обусловленные внешним периодическим воздействием (например, электромагнит­ные колебания в антенне телевизора).

Автоколебания — свободные колебания, поддерживаемые внеш­ним источником энергии, включение которого в нужные моменты времени осуществляет сама колеблющаяся система (например, колебания маятника часов).

Параметрические колебания — это колебания, в процессе которых происходит периодическое изменение какого-либо параметра системы (например, раскачивание качелей: приседая в крайних положениях и выпрямляясь в среднем положении, человек, находящийся на качелях, изменяет момент инерции качелей).

Различные по своей природе колебания обнаруживают много общего: они подчиняются одним и тем же закономерностям, описываются одними и теми же уравнениями, исследуются одними и теми же методами. Это дает возможность создать единую теорию колебаний.

Простейшими из периодических колебаний

являются гармонические колебания.

Гармонические колебания- это колебания, в процессе совершения которых значения физических величин изменяются с течением времени по закону синуса или косинуса. Большинство колебательных процессов описываются этим законом или может быть приставлено в виде суммы гармонических колебаний.

Возможно и другое «динамическое» определение гармонических колебании как процесса, совершаемого под действием упругой или «квазиупругой»

2. Периодическими называются колебания, при которых происходит точное повторение процесса через равные промежутки времени.

Периодом периодических колебаний называется минимальное время, через которое система возвращается в первоначальное

х — колеблющаяся величина (например, сила тока в цепи, состояние и начинается повторение процесса. Процесс, происходящий за один период колебаний, называется «одно полное колебание».

периодических колебаний называется число полных колебаний за единицу времени (1 секунду) — это может быть не целое число.

Т — период колебаний Период — время одного полного колебания.

Чтобы вычислить частоту v, надо разделить 1 секунду на время Т одного колебания (в секундах) и получится число колебаний за 1 секунду или координата точки) t — время

Это периодическое колебание, при котором координата, скорость, ускорение, характеризующие движение, изменяются по закону синуса или косинуса.

График гармонического колебания

График устанавливает зависимость смещения тела со временем. Установим к пружинному маятнику карандаш, за маятником бумажную ленту, которая равномерно перемещается. Или математический маятник заставим оставлять след. На бумаге отобразится график движения.

Графиком гармонического колебания является синусоида (или косинусоида). По графику колебаний можно определить все характеристики колебательного движения.

Уравнение гармонического колебания

Уравнение гармонического колебания устанавливает зависимость координаты тела от времени

График косинуса в начальный момент имеет максимальное значение, а график синуса имеет в начальный момент нулевое значение. Если колебание начинаем исследовать из положения равновесия, то колебание будет повторять синусоиду. Если колебание начинаем рассматривать из положения максимального отклонения, то колебание опишет косинус. Или такое колебание можно описать формулой синуса с начальной фазой .

Изменение скорости и ускорения при гармоническом колебании

Не только координата тела изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Но и такие величины, каксила, скорость и ускорение, тоже изменяются аналогично. Сила и ускорение максимальные, когда колеблющееся тело находится в крайних положениях, где смещение максимально, и равны нулю, когда тело проходит через положение равновесия. Скорость, наоборот, в крайних положениях равна нулю, а при прохождении телом положения равновесия – достигает максимального значения.

Если колебание описывать по закону косинуса

Если колебание описывать по закону синуса

Максимальные значения скорости и ускорения

Проанализировав уравнения зависимости v(t) и a(t), можно догадаться, что максимальные значения скорость и ускорение принимают в том случае, когда тригонометрический множитель равен 1 или -1. Определяются по формуле

Гармонические колебания

Колебаниями называются движения или процессы, которые обладают определенной повторяемостью во времени. Система, совершающая колебания, называется колебательной системой или осциллятором.

По физической природе различают механические, электромагнитные и другие колебания.

Колебания называются свободными (собственными), если они происходят в системе, которая предоставлена себе после того, как выведена из положения равновесия.

Вынужденные колебания — это колебания, которые происходят под действием периодически изменяющейся внешней силы. Например, в случае механических колебаний F = F coscot.

Гармонические колебания — это колебания, при которых колеблющаяся физическая величина изменяется по закону синуса или косинуса.

Различные периодические процессы (процессы, которые повторяются через равные промежутки времени) могут быть представлены как сумма (суперпозиция) гармонических колебаний.

Гармоническое колебание величины х описывается уравнением типа

где x(t) — отклонение колеблющейся физической величины от равновесного значения; А — амплитуда гармонических колебаний — максимальное значение колеблющейся величины; о) — циклическая (круговая) частота колебаний; ф — начальная фаза колебаний в момент времени t = 0 (определяется выбором начала отсчета времени); cp(t) = (cot +ср) — фаза колебаний в момент времени t, выраженная в радианах; она определяет значение колеблющейся величины в данный момент времени. Для материальной точки массой т величина х называется смещением тела из положения равновесия. Отметим, что амплитуда и частота гармонических колебаний постоянны. Так как cos изменяется в пределах от +1 до —1, величина х меняется от +А до —А. Поскольку cos(a + 2л) = cosa , то х не изменяется, когда фаза колебаний получает приращение 2л.

Периодом колебаний Т называется наименьший промежуток времени, за который система, совершающая колебания, снова возвращается в то состояние, в котором она находилась в начальный момент, выбранный произвольно. При этом фаза получает приращение 2л:

Отсюда получается, что

Частотой колебаний v называется величина, обратная периоду колебаний, — число полных колебаний, совершаемых в единицу времени:

Рис. 7.1. Гармонические колебания (Фо = 0):

а — зависимость смещения х от времени /; б — зависимость скорости v_x от времени С, в — зависимость ускорения а_х от времени t

Единица частоты в СИ — герц (Гц):

1 Гц = 1 с _| . 1 Гц — это частота периодического процесса, при котором за 1 с совершается одно полное колебание.

Пусть материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль оси х около положения равновесия, принятого за начало координат (рис. 7.1). Поскольку частица движется, совершая колебания, то она обладает скоростью и ускорением.

Определим для колеблющейся точки следующие величины:

1) смещение (рис. 7.1, а):

2) скорость (рис. 7.1, б):

3) ускорение (рис. 7.1, в):

Как следует из формулы (7.5), скорость опережает смещение на л/2, а ускорение, согласно выражению (7.6), — на л. Ускорение и смещение находятся в противофазе.

Амплитуды скорости и ускорения равны соответственно у4 со и Аи>1. Скорость и ускорение, как следует из уравнений (7.5) и (7.6), совершают гармонические колебания с той же циклической частотой, что и смещение х.

Экспоненциальная форма записи гармонических колебаний. Согласно формуле Эйлера, для комплексных чисел

где / = -7—1 — мнимая единица; ^ = coscp — действительная, или вещественная, часть комплексного числа, обозначается Re(e’ ip ); r| = sin(p — мнимая часть комплексного числа, обозначается 1ш(с , ). Формула Эйлера позволяет выразить любое комплексное число z = х + iy в экспоненциальной форме:

где риср — модуль и фаза комплексного числа z соответственно.

Поэтому вместо действительной формы записи гармонические колебания можно представлять в комплексной форме:

Здесь физический смысл имеют отдельно вещественная Rex и мнимая Imx части комплексной величины х, которые представляют собой следующие действительные гармонические колебания:

Например, уравнение гармонических колебаний (7.1), выражаемое косинусом, можно записать в комплексной экспоненциальной форме как

Рис. 7.2. Изображение гармонических колебаний методом векторных диаграмм: графическое представление комплексного числа

х = Rex и производить далее необходимые расчеты. В частности, графическое представление гармонических колебаний в комплексной форме упрощает изучение случая сложения гармонических колебаний. При этом используется то, что комплексные числа складываются по правилу параллелограмма.

На рис. 7.2 показано, как гармонические колебания можно изобразить графически методом векторных диаграмм (методом вращающегося вектора амплитуды).

Из произвольной точки О, выбранной на оси Х_л под углом ф, равным начальной фазе колебания, откладывается вектор А, модуль которого равен амплитуде А рассматриваемого колебания. Если этот вектор будет вращаться вокруг точки О против часовой стрелки с угловой частотой, равной сэ, то его проекция на ось X будет совершать колебания по закону х = A- cos(co t + ср).

Колеба́ния — повторяющийся в той или иной степени во времени процесс изменения состояний системы около точки равновесия. Например, при колебаниях маятника повторяются все углы его отклонения относительно вертикали; при колебаниях в электрическом колебательном контуре повторяются величина и направление тока, текущего через катушку.

Колебания почти всегда связаны с превращением энергии из одной формы в другую и обратно.

Колебания различной физической природы имеют много общих закономерностей и тесно связаны c волнами. Поэтому исследованиями этих закономерностей занимается теория колебаний и волн. Принципиальное отличие волн в том, что их распространение сопровождается переносом энергии.

Содержание

Классификация [ править | править код ]

Выделение разных видов колебаний зависит от подчёркиваемых свойств систем с колебательными процессами (осцилляторов).

По используемому математическому аппарату [ править | править код ]

По периодичности [ править | править код ]

• Периодические
• Квазипериодические
• Апериодические
• Антипериодические [A: 1]

Так, периодические колебания определены следующим образом:

Периодическими функциями называются [. ] такие функции f ( t ) <displaystyle f(t)> , для которых можно указать некоторую величину τ <displaystyle au > , так что f ( t + τ ) = f ( t ) <displaystyle f(t+ au )=f(t)> при любом значении аргумента t <displaystyle t> .

Андронов и соавт. [1]

По физической природе [ править | править код ]

• Механические (звук, вибрация)
• Электромагнитные (свет, радиоволны, тепловые)
• Квантовый осциллятор
• Смешанного типа — комбинации вышеперечисленных

По характеру взаимодействия с окружающей средой [ править | править код ]

• Вынужденные — колебания, протекающие в системе под влиянием внешнего периодического воздействия. Примеры: листья на деревьях, поднятие и опускание руки. При вынужденных колебаниях может возникнуть явление резонанса: резкое возрастание амплитуды колебаний при совпадении собственной частотыосциллятора и частоты внешнего воздействия.
• Свободные (или собственные) — это колебания в системе под действием внутренних сил после того, как система выведена из состояния равновесия (в реальных условиях свободные колебания всегда затухающие). Простейшими примерами свободных колебаний являются колебания груза, прикреплённого к пружине, или груза, подвешенного на нити.
• Автоколебания — колебания, при которых система имеет запас потенциальной энергии, расходующейся на совершение колебаний (пример такой системы — механические часы). Характерным отличием автоколебаний от вынужденных колебаний является то, что их амплитуда определяется свойствами самой системы, а не начальными условиями.
• Параметрические — колебания, возникающие при изменении какого-либо параметра колебательной системы в результате внешнего воздействия.

Параметры [ править | править код ]

• Амплитуда — максимальное отклонение колеблющейся величины от положения равновесия, A <displaystyle A,!>(м)
• Период — время полного колебания, через который повторяются какие-либо показатели состояния системы (система совершает одно полное колебание), T <displaystyle T,!>(с)
• Частота — число колебаний в единицу времени, f <displaystyle f,!>(Гц, с −1 ).

Период колебаний T <displaystyle T,!> и частота f <displaystyle f,!> — обратные величины:

T = 1 f <displaystyle T=<frac <1>>qquad > и f = 1 T <displaystyle qquad f=<frac <1>>>

В круговых или циклических процессах вместо характеристики «частота» используется понятие круговая (циклическая) частота ω <displaystyle omega ,!> (рад/с, Гц, с −1 ), показывающая число колебаний за 2 π <displaystyle 2pi > единиц времени:

ω = 2 π T <displaystyle omega =<frac <2pi >>qquad >и T = 2 π ω <displaystyle qquad T=<frac <2pi ><omega >>>

• Смещение — отклонение тела от положения равновесия, X <displaystyle X,!>(м)
• Фаза колебаний — определяет смещение в любой момент времени, то есть определяет состояние колебательной системы.

Краткая история [ править | править код ]

Гармонические колебания были известны с XVII века.

Термин «релаксационные колебания» был предложен в 1926 г. ван дер Полем. [A: 2] [A: 3] Обосновывалось введение такого термина лишь тем обстоятельством, что указанному исследователю казались все подобные колебания связанными с наличием «времени релаксации» — то есть с концептом, который на тот исторический момент развития науки представлялся наиболее понятным и широко распространённым. Ключевым свойством колебаний нового типа, описанных рядом перечисленных выше исследователей, было то, что они существенно отличались от линейных, — что проявляло себя в первую очередь как отклонение от известной формулы Томсона. Тщательное историческое исследование показало [A: 4] , что ван дер Поль в 1926 г. ещё не осознавал того обстоятельства, что открытое им физическое явление «релаксационные колебания» соответствует введённому Пуанкаре математическому понятию «предельный цикл», и понял он это лишь уже после вышедшей в 1929 г. публикации А. А. Андронова.

Иностранные исследователи признают [A: 4] тот факт, что среди советских учёных мировую известность приобрели ученики Л. И. Мандельштама, выпустившие в 1937 г. первую книгу [B: 1] , в которой были обобщены современные сведения о линейных и нелинейных колебаниях. Однако советские учёные «не приняли в употребление термин „релаксационные колебания“, предложенный ван дер Полем. Они предпочитали термин „разрывные движения“, используемый Блонделем, в частности потому, что предполагалось описывать этих колебаний в терминах медленных и быстрых режимов. Этот подход стал зрелым только в контексте теории сингулярных возмущений» [A: 4] .

Краткая характеристика основных типов колебательных систем [ править | править код ]

Линейные колебания [ править | править код ]

Важным типом колебаний являются гармонические колебания — колебания, происходящие по закону синуса или косинуса. Как установил в 1822 году Фурье, любое периодическое колебание может быть представлено как сумма гармонических колебаний путём разложения соответствующей функции в ряд Фурье. Среди слагаемых этой суммы существует гармоническое колебание с наименьшей частотой, которая называется основной частотой, а само это колебание — первой гармоникой или основным тоном, частоты же всех остальных слагаемых, гармонических колебаний, кратны основной частоте, и эти колебания называются высшими гармониками или обертонами — первым, вторым и т. д. [B: 2]

Нелинейные релаксационные колебания [ править | править код ]

Указывается [A: 4] , что формулировка, представленная Ван дер Полем: «медленная эволюция, сопровождаемая внезапным прыжком» (в оригинале: «slow evolution followed by a sudden jump»), — недостаточна, чтобы избежать неоднозначной интерпретации, причём на это обстоятельство указывали ещё современники ван дер Поля.

Тем не менее, похожим образом релаксационные колебания определяются и в более поздних работах. Например, Е. Ф. Мищенко и соавт. [2] определяют релаксационные колебания как такие «периодические движения» по замкнутой фазовой траектории, при которых «сравнительно медленные, плавные изменения фазового состояния чередуются с весьма быстрыми, скачкообразными». При этом далее указывается [3] , что «сингулярно возмущённую систему, допускающую такое периодическое решение, называют релаксационной».

Рассматривались отдельно в классической коллективной монографии А. А. Андронова и соав. [4] под названием «разрывные колебания», более принятому в советской математической школе.

Позже сложилась в теорию сингулярных возмущений (см. напр. [B: 3] ).