Ювелирное обозрение

Закон Джо́уля — Ле́нца — физический закон, дающий количественную оценку теплового действия электрического тока. Установлен в 1841 году Джеймсом Джоулем и независимо от него в 1842 году Эмилием Ленцем [1] .

Содержание

Определения [ править | править код ]

В словесной формулировке звучит следующим образом [2] :

Мощность тепла, выделяемого в единице объёма среды при протекании постоянного электрического тока, равна произведению плотности электрического тока на величину напряженности электрического поля.

Математически может быть выражен в следующей форме:

w = j → ⋅ E → = σ E 2 , <displaystyle w=<vec >cdot <vec >=sigma E^<2>,>

где w <displaystyle w> — мощность выделения тепла в единице объёма, j → <displaystyle <vec >> — плотность электрического тока, E → <displaystyle <vec >> — напряжённость электрического поля, σ — проводимость среды, а точкой обозначено скалярное произведение.

Закон также может быть сформулирован в интегральной форме для случая протекания токов в тонких проводах [3] :

Количество теплоты, выделяемое в единицу времени в рассматриваемом участке цепи, пропорционально произведению квадрата силы тока на этом участке и сопротивления участка.

В интегральной форме этот закон имеет вид

d Q = I 2 R d t , <displaystyle dQ=I^<2>Rdt,> Q = ∫ t 1 t 2 I 2 R d t , <displaystyle Q=int limits _<1>>^<2>>I^<2>Rdt,>

где d Q <displaystyle dQ> — количество теплоты, выделяемое за промежуток времени d t <displaystyle dt> , I <displaystyle I> — сила тока, R <displaystyle R> — сопротивление, Q <displaystyle Q> — полное количество теплоты, выделенное за промежуток времени от t 1 <displaystyle t_<1>> до t 2 <displaystyle t_<2>> . В случае постоянных силы тока и сопротивления:

Q = I 2 R t . <displaystyle Q=I^<2>Rt.>

Применяя закон Ома, можно получить следующие эквивалентные формулы:

Q = U 2 t / R = I U t . <displaystyle Q=U^<2>t/R =IUt.>

Практическое значение [ править | править код ]

Снижение потерь энергии [ править | править код ]

При передаче электроэнергии тепловое действие тока в проводах является нежелательным, поскольку ведёт к потерям энергии. Подводящие провода и нагрузка соединены последовательно, значит ток в сети I <displaystyle I> на проводах и нагрузке одинаков. Мощность нагрузки и сопротивление проводов не должны зависеть от выбора напряжения источника. Выделяемая на проводах и на нагрузке мощность определяется следующими формулами

Q w = R w ⋅ I 2 , <displaystyle Q_=R_cdot I^<2>,> Q c = U c ⋅ I . <displaystyle Q_=U_cdot I.>

Откуда следует, что Q w = R w ⋅ Q c 2 / U c 2 <displaystyle Q_=R_cdot Q_^<2>/U_^<2>> . Так как в каждом конкретном случае мощность нагрузки и сопротивление проводов остаются неизменными и выражение R w ⋅ Q c 2 <displaystyle R_cdot Q_^<2>> является константой, то тепло выделяемое на проводе обратно пропорционально квадрату напряжения на потребителе. Повышая напряжение мы снижаем тепловые потери в проводах. Это, однако, снижает электробезопасность линий электропередачи.

Выбор проводов для цепей [ править | править код ]

Тепло, выделяемое проводником с током, в той или иной степени выделяется в окружающую среду. В случае, если сила тока в выбранном проводнике превысит некоторое предельно допустимое значение, возможен столь сильный нагрев, что проводник может спровоцировать возгорание находящихся рядом с ним объектов или расплавиться сам. Как правило, при выборе проводов, предназначенных для сборки электрических цепей, достаточно следовать принятым нормативным документам, которые регламентируют выбор сечения проводников.

Электронагревательные приборы [ править | править код ]

Если сила тока одна и та же на всём протяжении электрической цепи, то в любом выбранном участке будет выделять тепла тем больше, чем выше сопротивление данного участка.

За счёт сознательного увеличения сопротивления участка цепи можно добиться локализованного выделения тепла в этом участке. По этому принципу работают электронагревательные приборы. В них используется нагревательный элемент — проводник с высоким сопротивлением. Повышение сопротивления достигается (совместно или по отдельности) выбором сплава с высоким удельным сопротивлением (например, нихром, константан), увеличением длины проводника и уменьшением его поперечного сечения. Подводящие провода имеют обычное низкое сопротивление и поэтому их нагрев, как правило, незаметен.

Плавкие предохранители [ править | править код ]

Для защиты электрических цепей от протекания чрезмерно больших токов используется отрезок проводника со специальными характеристиками. Это проводник относительно малого сечения и из такого сплава, что при допустимых токах нагрев проводника не перегревает его, а при чрезмерно больших перегрев проводника столь значителен, что проводник расплавляется и размыкает цепь.

В случае, когда проводник неподвижен и химических превращений в нем не происходит, то работа тока целиком расходуется на нагревание проводника. Количество теплоты, выделяющееся в проводнике за конечный промежуток времени при прохождении постоянного тока I, рассчитывается по формуле

. (2.7)

Формула (2.7) выражает закон Джоуля-Ленца для участка цепи постоянного тока: количество теплоты, выделяемое постоянным электрическим током на участке цепи, равно произведению квадрата силы тока на время его прохождения и электрическое сопротивление этого участка цепи.

Так как IR = U, то формулу (2.7) можно переписать в виде

. (2.8)

Если сила тока изменяется со временем, то количество теплоты, выделяющееся за время t, вычисляется по формуле

. (2.9)

Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме (для данной точки проводника с током) имеет вид

, (2.10)

где ω − плотность тепловой мощности; σ − удельная электропроводность; Е− напряженность электрического поля в данной точке проводника; Е * − напряженность поля сторонних сил.

Примеры решения задач

Задача 1. За время τ = 20 с при равномерно возраставшей силе тока от нуля до I_o в проводнике сопротивлением R = 5 Ом выделилось количество теплоты Q = 4 кДж. Найти I_o.

Io – ?	Решение: Так как ток равномерно возрастает, то зависимость силы тока от времени имеет вид . (1)
τ = 20 с R = 5 Ом Q = 4 кДж

По закону Джоуля-Ленца за время dt в проводнике выделится количество тепла

.

Полное количество тепла за время от до τ

.

; .

Задача 2. При включении электромотора в сеть с напряжением U = 220 В он потребляет ток I = 5 А. Определить мощность, потребляемую мотором, и его КПД, если сопротивление обмотки мотора R = 6 Ом.

Pп – ? η – ?	Решение: Полная мощность, потребляемая мотором: , Р = 1100 Вт.
U = 220 В I = 5 А R = 6 Ом

Мощность, выделяющаяся в виде тепла:

.

Полезная мощность (механическая)

.

;

.

Задача 3. Источник тока с ЭДС замкнут на реостат. При силе тока I₁ = 0,2 А и I₂ = 2,4 А на реостате выделяется одинаковая мощность. Найти:

1) при какой силе тока на реостате выделяется максимальная мощность?

2) чему равна сила тока короткого замыкания?

I – ? Iкз – ?	Решение: При силе тока I1 на реостате выделяется мощность , при силе тока I2 ,
I1 = 0,2 А
I2 = 2,4 А P1 = P2

где R₁ и R₂ – сопротивления реостата в каждом случае. По условию P₁ = P₂, поэтому

. (1)

По закону Ома для полной цепи

, (2)

. (3)

; ,

подставив их в (1), получаем:

.

Отсюда находим отношение :

;

.

Максимальная мощность выделяется при условии R = r, при этом ток

. (4)

Ток короткого замыкания

. (5)

; .

Задача 4. При изменении внешнего сопротивления с R₁ = 6 Ом до R₂ = 21 Ом. КПД схемы увеличился вдвое. Чему равно внутреннее сопротивление источника тока r ?

r − ?	Решение: При сопротивлении R1 КПД источника тока , а при сопротивлении R2
R1 = 6 Ом R2 = 21 Ом η2 = 2η1

.

Так как по условию задачи η₂=2η₁, то

.

Отсюда выражаем r:

;

.

Ответ: r = 14 Ом.

Задача 5. Две батареи с ЭДС ε₁ = 20 В и ε₂ = 30 В и внутренними сопротивлениями r₁ = 4 Ом и r₂ = 60 Ом соединены параллельно и подключены к нагрузке R = 100 Ом. Найти: 1) мощность, которая выделяется в нагрузке; 2) параметры ε и r генератора, которым можно заменить батареи без изменения тока в нагрузке; 3) КПД этого генератора.

P – ? ε, r – ? η – ?	Решение: Рис. 52
ε1 = 20 В ε2 = 30 В r1 = 4 Ом r2 = 60 Ом R = 100 Ом

Используя правила Кирхгофа, найдем токи I₁, I₂, I в узле A:

. (1)

Для контура a с обходом против часовой стрелки

. (2)

Для контура b с обходом против часовой стрелки

. (3)

Решим систему линейных уравнений (1) – (3) относительно I₁, I₂, I.

. (4)

. (5)

Умножая уравнение (2) на R, а уравнение (5) – на r₁, и складывая их, получаем:

. (6)

Подставляя (6) в выражение (2), находим I₁:

.

. (7)

Подставляя выражения (6) и (7) в (4), находим I:

. (8)

В нагрузке выделяется мощность:

;

.

Находим параметры генератора. Если данные в задаче батареи заменить на одну с ЭДС ε и внутренним сопротивлением r, то через сопротивление R потек бы ток

. (9)

Преобразуем выражение (8), поделив числитель и знаменатель дроби на (r₁+r₂), получим

. (10)

Для того чтобы эти выражения были одинаковыми, необходимо выполнение условий:

;

;

.

КПД этого генератора в данной схеме

;

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студентов недели бывают четные, нечетные и зачетные. 9493 – | 7459 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

В случае, когда проводник неподвижен и химических превращений в нем не происходит, то работа тока целиком расходуется на нагревание проводника. Количество теплоты, выделяющееся в проводнике за конечный промежуток времени при прохождении постоянного тока I, рассчитывается по формуле

. (2.7)

Формула (2.7) выражает закон Джоуля-Ленца для участка цепи постоянного тока: количество теплоты, выделяемое постоянным электрическим током на участке цепи, равно произведению квадрата силы тока на время его прохождения и электрическое сопротивление этого участка цепи.

Так как IR = U, то формулу (2.7) можно переписать в виде

. (2.8)

Если сила тока изменяется со временем, то количество теплоты, выделяющееся за время t, вычисляется по формуле

. (2.9)

Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме (для данной точки проводника с током) имеет вид

, (2.10)

где ω − плотность тепловой мощности; σ − удельная электропроводность; Е− напряженность электрического поля в данной точке проводника; Е * − напряженность поля сторонних сил.

Примеры решения задач

Задача 1. За время τ = 20 с при равномерно возраставшей силе тока от нуля до I_o в проводнике сопротивлением R = 5 Ом выделилось количество теплоты Q = 4 кДж. Найти I_o.

Io – ?	Решение: Так как ток равномерно возрастает, то зависимость силы тока от времени имеет вид . (1)
τ = 20 с R = 5 Ом Q = 4 кДж

По закону Джоуля-Ленца за время dt в проводнике выделится количество тепла

.

Полное количество тепла за время от до τ

.

; .

Задача 2. При включении электромотора в сеть с напряжением U = 220 В он потребляет ток I = 5 А. Определить мощность, потребляемую мотором, и его КПД, если сопротивление обмотки мотора R = 6 Ом.

Pп – ? η – ?	Решение: Полная мощность, потребляемая мотором: , Р = 1100 Вт.
U = 220 В I = 5 А R = 6 Ом

Мощность, выделяющаяся в виде тепла:

.

Полезная мощность (механическая)

.

;

.

Задача 3. Источник тока с ЭДС замкнут на реостат. При силе тока I₁ = 0,2 А и I₂ = 2,4 А на реостате выделяется одинаковая мощность. Найти:

1) при какой силе тока на реостате выделяется максимальная мощность?

2) чему равна сила тока короткого замыкания?

I – ? Iкз – ?	Решение: При силе тока I1 на реостате выделяется мощность , при силе тока I2 ,
I1 = 0,2 А
I2 = 2,4 А P1 = P2

где R₁ и R₂ – сопротивления реостата в каждом случае. По условию P₁ = P₂, поэтому

. (1)

По закону Ома для полной цепи

, (2)

. (3)

; ,

подставив их в (1), получаем:

.

Отсюда находим отношение :

;

.

Максимальная мощность выделяется при условии R = r, при этом ток

. (4)

Ток короткого замыкания

. (5)

; .

Задача 4. При изменении внешнего сопротивления с R₁ = 6 Ом до R₂ = 21 Ом. КПД схемы увеличился вдвое. Чему равно внутреннее сопротивление источника тока r ?

r − ?	Решение: При сопротивлении R1 КПД источника тока , а при сопротивлении R2
R1 = 6 Ом R2 = 21 Ом η2 = 2η1

.

Так как по условию задачи η₂=2η₁, то

.

Отсюда выражаем r:

;

.

Ответ: r = 14 Ом.

Задача 5. Две батареи с ЭДС ε₁ = 20 В и ε₂ = 30 В и внутренними сопротивлениями r₁ = 4 Ом и r₂ = 60 Ом соединены параллельно и подключены к нагрузке R = 100 Ом. Найти: 1) мощность, которая выделяется в нагрузке; 2) параметры ε и r генератора, которым можно заменить батареи без изменения тока в нагрузке; 3) КПД этого генератора.

P – ? ε, r – ? η – ?	Решение: Рис. 52
ε1 = 20 В ε2 = 30 В r1 = 4 Ом r2 = 60 Ом R = 100 Ом

Используя правила Кирхгофа, найдем токи I₁, I₂, I в узле A:

. (1)

Для контура a с обходом против часовой стрелки

. (2)

Для контура b с обходом против часовой стрелки

. (3)

Решим систему линейных уравнений (1) – (3) относительно I₁, I₂, I.

. (4)

. (5)

Умножая уравнение (2) на R, а уравнение (5) – на r₁, и складывая их, получаем:

. (6)

Подставляя (6) в выражение (2), находим I₁:

.

. (7)

Подставляя выражения (6) и (7) в (4), находим I:

. (8)

В нагрузке выделяется мощность:

;

.

Находим параметры генератора. Если данные в задаче батареи заменить на одну с ЭДС ε и внутренним сопротивлением r, то через сопротивление R потек бы ток

. (9)

Преобразуем выражение (8), поделив числитель и знаменатель дроби на (r₁+r₂), получим

. (10)

Для того чтобы эти выражения были одинаковыми, необходимо выполнение условий:

;

;

.

КПД этого генератора в данной схеме

;

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студента самое главное не сдать экзамен, а вовремя вспомнить про него. 10097 – | 7530 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно